2 /* @(#)e_exp.c 5.1 93/09/24 */
3 /*
4  * ====================================================
5  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6  *
7  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
8  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9  * software is freely granted, provided that this notice
10  * is preserved.
11  * ====================================================
12  */
14 /* __ieee754_exp(x)
15  * Returns the exponential of x.
16  *
17  * Method
18  *   1. Argument reduction:
19  *      Reduce x to an r so that |r| <= 0.5*ln2 ~ 0.34658.
20  *      Given x, find r and integer k such that
21  *
22  *               x = k*ln2 + r,  |r| <= 0.5*ln2.
23  *
24  *      Here r will be represented as r = hi-lo for better
25  *      accuracy.
26  *
27  *   2. Approximation of exp(r) by a special rational function on
28  *      the interval [0,0.34658]:
29  *      Write
30  *          R(r**2) = r*(exp(r)+1)/(exp(r)-1) = 2 + r*r/6 - r**4/360 + ...
31  *      We use a special Reme algorithm on [0,0.34658] to generate
32  *      a polynomial of degree 5 to approximate R. The maximum error
33  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-59. In
34  *      other words,
35  *          R(z) ~ 2.0 + P1*z + P2*z**2 + P3*z**3 + P4*z**4 + P5*z**5
36  *      (where z=r*r, and the values of P1 to P5 are listed below)
37  *      and
38  *          |                  5          |     -59
39  *          | 2.0+P1*z+...+P5*z   -  R(z) | <= 2
40  *          |                             |
41  *      The computation of exp(r) thus becomes
42  *                             2*r
43  *              exp(r) = 1 + -------
44  *                            R - r
45  *                                 r*R1(r)
46  *                     = 1 + r + ----------- (for better accuracy)
47  *                                2 - R1(r)
48  *      where
49  *                               2       4             10
50  *              R1(r) = r - (P1*r  + P2*r  + ... + P5*r   ).
51  *
52  *   3. Scale back to obtain exp(x):
53  *      From step 1, we have
54  *         exp(x) = 2^k * exp(r)
55  *
56  * Special cases:
57  *      exp(INF) is INF, exp(NaN) is NaN;
58  *      exp(-INF) is 0, and
59  *      for finite argument, only exp(0)=1 is exact.
60  *
61  * Accuracy:
62  *      according to an error analysis, the error is always less than
63  *      1 ulp (unit in the last place).
64  *
65  * Misc. info.
66  *      For IEEE double
67  *          if x >  7.09782712893383973096e+02 then exp(x) overflow
68  *          if x < -7.45133219101941108420e+02 then exp(x) underflow
69  *
70  * Constants:
71  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
72  * constants. The decimal values may be used, provided that the
73  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
74  * to produce the hexadecimal values shown.
75  */
77 #include "fdlibm.h"
79 #ifndef _DOUBLE_IS_32BITS
81 #ifdef __STDC__
82 static const double
83 #else
84 static double
85 #endif
86 one     = 1.0,
87 halF = {0.5,-0.5,},
88 huge    = 1.0e+300,
89 twom1000= 9.33263618503218878990e-302,     /* 2**-1000=0x01700000,0*/
90 o_threshold=  7.09782712893383973096e+02,  /* 0x40862E42, 0xFEFA39EF */
91 u_threshold= -7.45133219101941108420e+02,  /* 0xc0874910, 0xD52D3051 */
92 ln2HI   ={ 6.93147180369123816490e-01,  /* 0x3fe62e42, 0xfee00000 */
93              -6.93147180369123816490e-01,},/* 0xbfe62e42, 0xfee00000 */
94 ln2LO   ={ 1.90821492927058770002e-10,  /* 0x3dea39ef, 0x35793c76 */
95              -1.90821492927058770002e-10,},/* 0xbdea39ef, 0x35793c76 */
96 invln2 =  1.44269504088896338700e+00, /* 0x3ff71547, 0x652b82fe */
97 P1   =  1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
98 P2   = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
99 P3   =  6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
100 P4   = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
101 P5   =  4.13813679705723846039e-08; /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
104 #ifdef __STDC__
105         double __ieee754_exp(double x)  /* default IEEE double exp */
106 #else
107         double __ieee754_exp(x) /* default IEEE double exp */
108         double x;
109 #endif
110 {
111         double y,hi = 0., lo = 0.,c,t;
112         int32_t k = 0, xsb;
113         uint32_t hx;
115         GET_HIGH_WORD(hx,x);
116         xsb = (hx>>31)&1;               /* sign bit of x */
117         hx &= 0x7fffffff;               /* high word of |x| */
119     /* filter out non-finite argument */
120         if(hx >= 0x40862E42) {                  /* if |x|>=709.78... */
121             if(hx>=0x7ff00000) {
122                 uint32_t lx;
123                 GET_LOW_WORD(lx,x);
124                 if(((hx&0xfffff)|lx)!=0)
125                      return x+x;                /* NaN */
126                 else return (xsb==0)? x:0.0;    /* exp(+-inf)={inf,0} */
127             }
128             if(x > o_threshold) return huge*huge; /* overflow */
129             if(x < u_threshold) return twom1000*twom1000; /* underflow */
130         }
132     /* argument reduction */
133         if(hx > 0x3fd62e42) {           /* if  |x| > 0.5 ln2 */
134             if(hx < 0x3FF0A2B2) {       /* and |x| < 1.5 ln2 */
135                 hi = x-ln2HI[xsb]; lo=ln2LO[xsb]; k = 1-xsb-xsb;
136             } else {
137                 k  = invln2*x+halF[xsb];
138                 t  = k;
139                 hi = x - t*ln2HI;    /* t*ln2HI is exact here */
140                 lo = t*ln2LO;
141             }
142             x  = hi - lo;
143         }
144         else if(hx < 0x3e300000)  {     /* when |x|<2**-28 */
145             if(huge+x>one) return one+x;/* trigger inexact */
146         }
147         else k = 0;
149     /* x is now in primary range */
150         t  = x*x;
151         c  = x - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
152         if(k==0)        return one-((x*c)/(c-2.0)-x);
153         else            y = one-((lo-(x*c)/(2.0-c))-hi);
154         if(k >= -1021) {
155             uint32_t hy;
156             GET_HIGH_WORD(hy,y);
157             SET_HIGH_WORD(y,hy+(k<<20));        /* add k to y's exponent */
158             return y;
159         } else {
160             uint32_t hy;
161             GET_HIGH_WORD(hy,y);
162             SET_HIGH_WORD(y,hy+((k+1000)<<20)); /* add k to y's exponent */
163             return y*twom1000;
164         }
165 }
167 #endif /* defined(_DOUBLE_IS_32BITS) */
About OSDN
Find Software
Develop Software